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1. Un homme marche le long d'une rue droit. Il remarque le haut d'une tour sous-tendant un angle A = 60o avec le sol au point où il est debout. Si la hauteur de la tour est h = 30 m, alors, quelle est la distance (en mètres) de l'homme de la tour?
Réponse: 17,32 Solution:  |
Soit BC la tour avec la hauteur h = 30 m, et soit A le point où l'homme est debout. AB = d indique la distance de l'homme de la tour. L'angle sous-tendu par la tour est A = 60o.
De la Trigonométrie, | tan A = tan 60o = h / d = | √3 |
Donc, d = 30 / √3 s m.
Ainsi, la distance de l'homme de la tour est 17,2 m. |
2. Un petit garçon fait voler un cerf-volant. La ficelle du cerf-volant fait un angle de 30o avec le sol. Si la hauteur du cerf-volant est h = 21 m, calculer la longueur (en mètres) de la ficelle que le garçon utilise.
Réponse: 42 Solution:  |
Si le cerf-volant est au point C et le garçon est au point A, alors AC = l représente la longueur de la ficelle et BC = h représente la hauteur du cerf-volant.
De la figure, sin A = sin 30o = h / l = 1 / 2. Ainsi, la longueur de la ficelle que le garçon utilise est l = 2 h = 2 (21) = 42 m. |
3. Deux tours sont face-à-face séparées par une distance d = 40 m. Comme on l'a vu du haut de la première tour, l'angle de dépression de la base de la deuxième tour est 60o et du haut est 30o. Quelle est la hauteur (en mètres) de la deuxième tour?
Réponse:
Solution:  |
La première tour AB et la deuxième tour CD sont représentées dans la figure à gauche.
D'abord considérer le triangle BAC. Angle C = 60o.
tan BCA = tan 60o = AB / AC.
Cela donne AB = d tan 60o.
Pareillement pour le triangle BED, BE = d tan 30o.
Maintenent la hauteur de la deuxième tour CD = AB − BE
= d (tan 60o − tan 30o)
= 40 (√3 − 1/ √3) = 40 × 2 / √3 = 46,19 m. |
4. Un navire de la hauteur h = 9 m est observé d'un phare. Du haut du phare, l'angle de dépression au haut du mât et la base du navire égale respectivement 30o et 45o. A quelle distance se trouve le navire du phare (en mètres)?
Réponse: 21,29 Solution:
Soit AB le phare et soit CD le navire. De la figure, tan BCA = tan 45o = AB / AC.
Pareillement pour le triangle BED, tan BDE = tan 30o = BE / ED.
Maintenant, AC = ED = d.
Hauteur du navire = CD
= AB − BE = d (tan 45o − tan 30o) = 9 m.
La distance du navire du phare est d = 9 / (1 − 1 / √3 ) = 21,29 m | |
5. Deux hommes sur les côtés opposés d'une tour de télévision de 28 m de hauteur, remarquent que l'angle de l'élévation du sommet de cette tour est respectivement 45o et 60o. Trouver la distance (en mètres) entre les deux hommes.
Réponse: 44,17 Solution:
La situation est illustrée dans la figure où CD représent la tour et AB représent la distance entre les deux hommes.
Pour le triangle ACD,
tan A = tan 60o = CD / AD.
Pareillement pour le triangle BCD,
tan B = tan 45o = CD / DB.
La distance entre les deux hommes est AB = AD + DB
= (CD / tan 60o) + (CD / tan 45o)
= (28 / √3) + (28 / 1) = 44,17 m. |  |
6. Deux hommes sur un même côté d'un grand bâtiment remarquent que l'angle d'élévation vers le haut du bâtiment est respectivement 30o et 60o. Si la hauteur du bâtiment connue pour être h =100 m, trouver la distance (en mètres) entre les deux hommes.
Réponse: 115,47 Solution: Dans la figure, A et B représentent les deux hommes et CD représent le grand bâtiment.
tan A = tan 30o = DC / AC = h / AC; et
tan B = tan 60o = DC / BC = h / BC.
Maintenant la distance entre les hommes est AB
= x = AC − BC = (h / tan 30o) − (h / tan 60o)
= (100 √3 ) − (100 / √3 ) = 115,47 m. |  |
7. Une perche de la height h = 50 pieds a une ombre de la longueur l = 28,87 pieds à un instant particulier du temps. Trouver l'angle d'élévation (en degrés) du soleil en ce moment.
Réponse: 60 Solution:  |
Dans la figure, BC représent la perche et AB représent son ombre.
tan A = BC / AB
= h / l = 50 / 28,87 = 1,732
Des tables trigonométriques, on remarque que
tan A = 1,732 pour A =60o.
Ainsi, l'angle d'élévation du soleil en ce moment est 60o.
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8. Vous êtes stationné à une base de radar et vous observez un avion non identifié à une altitude h = 1000 m volant vers votre base de radar à un angle d'élévation = 30o. Après exactement une minute, le balayage de votre radar révèle que l'avion est maintenant à un angle de l'élévation = 60o en maintenant la même altitude. Quelle est la vitesse en mètre / seconde (m / s) de l'avion?
Réponse: 19,25 Solution:  |
Dans la figure, la base du radar est au point A. L'avion est au point D au premier balayage et au point E au deuxième balayage. DE est la distance qu'il parcourt dans l'intervalle d'un minute.
De la figure,
tan DAC = tan 30o = DC / AC = h / AC.
Pareillement,
tan EAB = tan 60o = EB / AB = h / AB.
La distance parcourue par l'avion en un minute = DE = AC − AB
= (h / tan 30o) − (h / tan 60o)
= (1000 √3) − (1000 / √3 ) = 1154,70 m.
La vélocité de l'avion est donnée par V = distance parcourue / temps pris
= DE / 60 = 19,25 m/s. |
Essayez le Quizz : Exercice de Pratique - Module 3 : Problèmes sur Hauters et Distances
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