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| Mensuration - Résoudre chacun des problèmes suivants liés au périmètre et à l'aire des rectangles et carrés. |
1. Le perimètre d'un rectangle mesure 96 m est sa largeur mesure14 m. Calculer son aire (en m2).
Réponse: 476Perimètre d'un rectangle = 2 (Longueur + Largeur)
Longueur = ½ × Perimètre − Largeur = ½ × 96 − 14 = 34 m.
Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur = 34 × 14 = 476 m2.
2. Calculer l'aire (en m2) d'une piscine en forme d'un rectangle dont un côté mesure 15 m et dont la longueur de sa diagonale est 25 m.
Réponse: 300 Soit PQRS le piscine où PQ = 15 m et PR = 25 m. D'après le Théorème de Pythagore, Hypoténuse 2 = Base 2 + Hauteur 2 PR 2 = PQ 2 + QR 2 ∴ QR = √(PR 2 − PQ 2) = √(25 2 − 15 2) = 20 m. Ainsi, longueur = 20 m et largeur = 15 m. Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur = 20 × 15 = 300 m 2.
3. Une parcelle (zone de terrain) rectangulaire est 25 m de long et 16 m de large. Elle est d'être recouverte de gazon en laissant 0,5 m tout autour. Calculer l'aire (en m2) qui ne sera pas couverte par le gazon.
Réponse: 40Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
= 25 × 16 = 400 m².
En laissant 1 m tout autour du terrain rectangulaire, le rectangle d'être recouvert de gazon sera d'une longueur de 24 m et la largeur de 15 m.
∴ L'aire du rectangle d'être recouvert de gazon = 24 × 15 = 360 m2.
L'aire qui ne sera pas recouverte de gazon = 400 − 360 = 40 m2.
4. La différence entre la longueur et la largeur d'un rectangle est 25 m. Si son périmètre mesure 210 m, calculer son aire (en m2).
Réponse: 2600Soit x la largeur. Puis, la longueur est x + 25.
Périmètre d'un rectangle = 2 (Longueur + Largeur)
210 = 2 (x + (x + 25))
∴ x = 40 m.
Ainsi, largeur = 40 m et longueur = 65 m.
Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
= 65 × 40 = 2600 m2.
5. La largeur d'une pelouse rectangulaire est ¼th de sa longueur. Si le périmètre de la pelouse mesure 320 m, calculer son aire (en m2).
Réponse: 4096Soit x la largeur de la pelouse. Puis, la longueur = 4x.
Périmètre d'un rectangle = 2 (Longueur + Largeur)
320 = 2 (4x + x) ∴ x = 32 m.
Ainsi, largeur = 32 m et longueur = 128 m.
Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
= 128 × 32 = 4096 m2.
6. La longueur d'un rectangle est 20 m et sa largeur est 15 m. Si la longueur est augmentée de 30 m, quelle sera la largeur (en m) du rectangle étant donné que l'aire reste la même?
Réponse: 10Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
= 20 × 15 = 300 m2.
Si la longueur est augmentée de 30 m et l'aire reste la même,
Largeur = Aire/ Longueur
= 300 / 30 = 10 m.
7. La longueur d'une salle rectangulaire est 10 m plus que son largeur. L'aire de la salle est 875 m2. Calculer sa longueur (en m).
Réponse: 35Soit x la longueur d'un rectangle. Puis, la largeur = x - 10.
Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
875 = x (x − 10)
x2 - 10x − 875 = 0
L'équation quadratique (du second degré) au-dessus peut être résolue par la factorisation comme suit.
(x + 25) (x − 35) = 0
∴ x = 35 m (ignorant la racine négative, c'est-à-dire, x = −25)
Ainsi, longueur = 35 m.
8. Un tapis rectangulaire a une superficie de 48 m2 et un périmètre de 28 m. Calculer la longueur de sa diagonale (en m).
Réponse: 10Soit L la longueur du tapis rectangulaire et soit l sa largeur.
Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
48 = L l
Périmètre d'un rectangle = 2 (Longueur + Largeur)
28 = 2 (L + l)
∴ L + l = 14
D'après le Théorème de Pythagore, Hypoténuse2 = Base2 + Hauteur2
∴ Diagonale2 = L2 + l2
Mais, (L + l)2 = L2 + l2 + 2 Ll
∴ L2 + l2 = (L + l)2 − 2L l
Diagonale2 = (L+ l)2 − 2 L l = 142 − 2 (48) = 100 ou Diagonale = 10 m.
9. La longueur de la diagonale d'un rectangle mesure 61 cm et sa superficie est 660 cm2. Calculer le périmètre (en cm jusqu'à deux décimales) du rectangle.
Réponse: 142Soit L la longueur du rectangule et soit l sa largeur.
Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
660 = L l
D'après le Théorème de Pythagore, Hypoténuse2 = Base2 + Hauteur2
∴ Diagonale2 = L2 + l2
612 = L2 + l2
Périmètre d'un rectangle = 2 (Longueur + Largeur)
= 2 (L + l)
Mais, (L + l)2 = L2 + l2 + 2 L l
= 612 + 2 (660)
= 5041 ou L + l = 71
Périmètre = 2 (L + l) = 2 (71) = 142 cm.
10. Un couloir mesure 15 m de long et 8 m de large. Calculer le coût (en €) de récouvrir le couloir d'une moquette mesurant 60 cm de long et coûtant 4 € par mètre.
Réponse: 2800Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
= 15 × 8 = 120 m2 = 1200000 cm2
Largeur de la moquette = 1200000 / 60 = 20000 cm = 200 m
∴ Coût de récouvrir le couloir d'une moquette = 200 × 14 = €2800
11. Un rectangle ayant une aire de180 m2 et un périmètre de 56 m a sa longueur égale à x m. Calculer sa longueur (en m).
Réponse: 18Périmètre d'un rectangle = 2 (Longueur + Largeur)
Largeur = Périmètre / 2 − Longueur = 56 / 2 − x = 28 − x
Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur
180 = x (28 − x)
x2 − 28x + 180 = 0
L'équation quadratique (du second degré) au-dessus peut être résolue par la factorisation comme suit.
(x − 10) (x − 18) = 0
∴ x = 18 m (ignorant la racine négative, c'est-à-dire, x = 10 comme Longueur > Largeur)
Ainsi, Longueur = 18 m.
12. La longueur de la diagonale d'un carré est 24 cm. Calculer son aire (en cm2).
Réponse: 288Aire d'un Carré = ½ × Diagonale2
= ½ × 242 = 288 cm2.
13. La longueur de la diagonale d'un carré est 30√2 cm. Calculer son périmètre (en cm).
Réponse: 120Diagonale d'un carré = √2 Côté
Côté d'un carré = Diagonale / √2 = 30√2 / √2 = 30 cm.
Périmètre d'un carré = 4 × Côté
= 4 × 30 = 120 cm.
14. L'aire d'un champ carré est 18 hectares. Combien de distance (en m) un homme doit-il parcourir pour traverser le champ en diagonale?
Noter que 1 hectare = 10 000 m2.
Réponse: 600Aire d'un carré = ½ × Diagonale2
∴ Diagonale2 = 2 × Aire = 2 (18 × 10 000) = 360000 ou Diagonale = 600 m.
15. Calculer la longueur (en cm) de la diagonale d'un carré ayant une aire de 450 cm2.
Réponse: 30Aire d'un carré = ½ × Diagonale2
Diagonale2 = 2 × Aire = 2 × 450 = 900 ou Diagonale = 30 cm.
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