Math - Géométrie : Périmètre & Aire des Quadrilatères II

evue Théorie que vous devez savoir ! apide

Périmètre d'un rectangle = 2 (Longueur + Largeur)

Aire d'un rectangle = Longueur × Largeur

Périmètre d'un carré = 4 × Côté

Diagonale d'un carré = √2 Côté

Aire d'un carré = Côté²

Aire d'un carré = ½ × Diagonale²

Aire d'un quadrilatère lorsque les diagonales se croisent aux angles droits = ½ × Produit des diagonales

Aire d'un quadrilatère lorsque une diagonale et les longueurs des perpendiculaires de ses sommets opposés à cette diagonale sont données = ½ × Diagonale × Somme des longueurs des perpendiculaires

Aire d'un parallélogramme = Base × Hauteur

Aire d'un losange = ½ × Produit des diagonales

Aire d'un  trapèze = ½ × Somme des côtés parallèles × Distance entre côtés parallèles

Exemple
Calculer le périmètre (en cm) du quadrilatère EFGH où EF = 42 cm, GH = 74 cm, EH = 56 cm, FH = 70 cm et ∠GFH = 90°.
Solution. Dans le ΔFGH, d'après le Théorème de Pythagore, GH² = FG² + FH²
∴ FG² = GH² − FH² = 74² − 70² = 576 ou FG = 24 cm.
périmètre du quadrilatère = EF + FG + EH + GH = 42 + 24 + 56 + 74 = 196 cm.

Exemple
Calculer l'aire (en cm²) du quadrilatère PQRS où PQ = 36 cm, QR = RS = 50 cm, PS = 48 cm et ∠QPS = 90°.
Solution. D'après le Théorème de Pythagore, QS² = PQ² + PS²
= 36² + 48² = 3600 ou QS = 60 cm.
Aire du ΔPQS = ½ × Base × Hauteur
= ½ (36) (48) = 864 cm².
Aire du triangle isocèle QRS = ¼ b √(4a² − b²)
= ¼ (60) √(4 × 50² − 60²) = 1200 cm².
Aire du quadrilatère = Aire du ΔPQS + Aire du ΔQRS
= 864 + 1200 = 2064 cm².

Example
Calculer l'aire (en cm²) d'un trapèze ABCD où AB = 22 cm, BC = 50 cm, CD = 8 cm et ∠BAD = ∠ADC = 90°.
Solution. Construction: Tracer CE ⊥ AB.
Puis, AE = 8 cm.
∴ BE = 22 − 8 = 14 cm.
D'après le Théorème de Pythagore, BC² = BE² + CE²
∴ CE² = BC² − BE² = 50² − 14² = 2304 ou CE = 48 cm.
Aire du ΔBCE = ½ × Base × Hauteur
= ½ × 48 × 14 = 336 cm².
Aire du rectangle ADCE = Longueur × Largeur
= 48 × 8 = 384 cm².
Aire du trapèze = Aire du ΔBCE + Aire du rectangle ADCE
= 336 + 384 = 720 cm².

Exemple

La région ombrée de la figure donnée est une villa qui fait 68 m de long et 24 m de large. Elle est bordée par une pelouse d'une largeur uniforme de 6 m sur trois côtés. Calculer l'aire totale (en m²) occupée par la villa et la pelouse.

Solution. L'aire totale occupée par la villa et la pelouse. = Longueur × Largeur
= 80 × 30 = 2400 m².