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| Mensuration - Résoudre chacun des problèmes suivants liés à l'aire (surface) des cylindres. |
1. Calculer l'aire de la surface courbe (en cm2) d'un cylindre du diamètre mesurant 28 cm et la hauteur de 40 cm.
Réponse: 3520Soit r le rayon du cylindre et soit h la hauteur. Aire (surface courbe) d'un cylindre = 2 π r h
= 2 × 22 / 7 × 14 × 40 = 3520 cm2.
2. Calculer l'aire totale (en cm2) d'un cylindre du rayon mesurant 3,5 cm et la hauteur de 55 cm.
Réponse: 1287Soit r le rayon du cylindre et soit h la hauteur.
Aire (surface) totale d'un cylindre = 2 π r h + 2 π r2
= 2 π r (h + r) = 2 × 22 / 7 × 3.5 (55 + 3,5) = 1287 cm2.
3. L'aire (surface) totale d'un cylindre du rayon mesurant 7 cm est 1848 cm2. Calculer la hauteur (en cm) du cylindre.
Réponse: 35Soit r le rayon du cylindre et soit h la hauteur.
Aire (surface) totale d'un cylindre = 2 π r h + 2 π r2
= 2 π r (h + r) = 2 × 22 / 7 × 7 (h + 7)
1848 = 2 × 22 / 7 × 7 (h + 7)
h = 35 cm.
4. Un rouleau compresseur de diamètre mesurant 98 cm a une longueur de 125 cm. Il fait 4000 révolutions complètes, afin de niveler un champ.
Calculer le coût (en $) à 4 cents par mètre carré.
Réponse: 616Soit r le rayon du rouleau compresseur et soit h la hauteur.
Superficie couverte par le rouleau compresseur dans 1 révolution = Aire (surface courbe) du rouleau compresseur = 2 π r h
= 2 × 22 / 7 × 49 × 125 = 38500 cm2.
Superficie couverte par le rouleau compresseur dans 4000 révolutions = 4000 × 38500 = 154000000 cm2 = 15400 m2.
Coût pour niveler le champ = 15400 × 4 = 61600 cents = $616.
5. Un tube métallique (ouvert aux deux bouts) 40 cm de long a un diamètre externe mesurant 50 cm. L'épaisseur du tube métallique est 2 cm.
Calculer l'aire totale (en cm2) du tube métallique.
Réponse: 12672Soit R, r et h respectivement le rayon externe, le rayon interne et la hauteur du tube métallique .
r = 25 − 2 = 23 cm.
Aire (surface) totale d'un cylindre creux = Aire (surface courbe) externe + Aire (surface courbe) interne + 2 (Aire de chaque anneau circulaire)
= 2 π Rh + 2 π rh + 2 (π R2 − π r2)
= 2 π h (R + r) + 2 π (R2 − r2)
= 2 π h (R + r) + 2 π (R + r) (R − r)
= 2 π (R + r) (h + R moins; r)
= 2 × 22 / 7 (25 + 23) (40 + 25 − 23) = 12672 cm2.
6. Un cylindre creux (ouvert aux deux bouts), a un diamètre externe mesurant 14 cm, longueur de 14 cm et une épaisseur de 1 cm.
Calculer sa surface totale (en cm2 jusqu'à deux décimales).
Réponse: 1225,71Soit R, r et h respectivement le rayon externe, le rayon interne et la hauteur du cylindre creux .
r = 7 − 1 = 6 cm.
Aire (surface) totale d'un cylindre creux = 2 π R h + 2 π rh + 2 (π R2 − π r2)
= 2 × 22 / 7 × 7 × 14 + 2 × 22 / 7 × 6 × 14 + 2 (22 / 7 × 72 − 22 / 7 × 62) = 1225,71 cm2.
7. Calculer l'aire totale (en cm2) d'un tube métallique (ouvert aux deux bouts) ayant un diamètre externe de 28 cm, un diamètre interne de 7 cm et la longueur de 40 cm.
Réponse: 5555Soit R, r et h respectivement le rayon externe, le rayon interne et la hauteur du cylindre creux .
Aire (surface) totale d'un cylindre creux = 2 π R h + 2 π rh + 2 (π R2 − π r2)
= 2 × 22 / 7 × 14 × 40 + 2 × 22 / 7 × 3,5 × 40 + 2 (22 / 7 × 142 − 22 / 7 × 3,52)
= 3520 + 880 + 1155 = 5555 cm2.
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