Solution:

Tous les rectangles sur le tableau peuvent être identifiés en connectant:
2 points de la 7 dans le bord supérieur (pour former la longueur du rectangle) et
2 points de la 7 dans le bord gauche (pour former la largeur du rectangle).

Pour mieux comprendre, envisagez l'échiquier de 8 × 8 (voyez l'animation ci-dessus).
Notez qu'il ya 4 possibilités des longueurs des rectangles pour être 5 unités.

Le tableau suivant montre le nombre de possibilités pour les longueurs différentes des rectangles sur un plateau 6 × 6:

Longueur de rectangle	Nombre de Possibilitiés
6 unités	1
5 unités	2
4 unités	3
...	...
1 unité	6

Donc, nombre de possibilités pour des longueurs différentes de rectangles = 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21.
De même, nombre de possibilités pour des largeurs différentes de rectangles = 1 + 2 + 3 + ... + 6 = 21.
Ainsi, nombre de rectangles = 21 × 21 = 441.

Réfléchir :

Y a-t-il une formule pour la somme des premiers n nombres entiers positifs?
Est-ce que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n (n + 1) / 2 ?

Est-ce que ce puzzle peut être résolu rapidement avec la connaissance des permutations et combinaisons?
Notez que ⁿC₂ est le nombre de combinaisons de n éléments pris 2 à la fois.
ⁿC₂ = n (n − 1)/2. Ainsi le nombre de rectangles = ⁷C₂ × ⁷C₂ = 21 × 21 = 441.

Pouvez-vous trouver la formule alternative suivante pour résoudre ce casse-tête?
Nombre de rectangles sur un tableau de n × n
= 2 (Somme des produits de toutes les paires de nombres de 1 à n) - (Nombre de carrés sur le tableau)


Alors, combien de carrés y a-t-il sur un tableau de n × n ?