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| Mensuration - Résoudre chacun des problèmes suivants liés au périmètre et à l'aire des triangles. |
1. Calculer l'aire (en cm²) d'un triangle avec la base de 12 cm et l'hauteur de 7 cm.
Réponse: 42Area d'un triangle = ½ × Base × Hauteur
= ½ × 12 × 7 = 42 cm².
2. Calculer l'hauteur (en cm) d'un triangle dont la base mesure 24 cm et l'aire mesure 180 cm².
Réponse: 15Area d'un triangle = ½ × Base × Hauteur.
∴ Hauteur = 2 × Aire / Base = 2 × 180 / 24 = 15 cm.
3. La base d'un triangle est deux fois son altitude. Si l'aire du triangle est 144 cm², calculer sa base (en cm).
Réponse: 24Soit h l'altitude. Puis, la base est 2h.
Aire d'un triangle = ½ × Base × Hauteur
Aire = ½ × 2h × h = 144
h = √144 = 12
Ainsi, l'altitude est 12 cm et la base est 24 cm.
4. Calculer le côté (en cm au nombre entier le plus proche) d'un triangle équilatéral dont l'hauteur mesure 10,4 cm.
Réponse: 12Hauteur d'un triangle équilatéral = √3 / 2 × Côté
10,4 = √3 / 2 × Côté
∴ Côté = 2 / √3 × Hauteur = 2/√3 × 10,4 = 12 cm.
5. Calculer l'aire (en cm² jusqu'à 1 décimale) d'un triangle équilatéral de côté mesurant 10 cm.
Réponse: 43,3Aire d'un triangle équilatéral = √3 / 4 × Côté²
= √3 / 4 × 10² = 43,3 cm².
Noter que √3 = 1,732
6. Calculer l'hauteur (en cm au nombre entier) d'un triangle équilatéral dont l'aire est 36,95 cm².
Réponse: 8Aire d'un triangle équilatéral = √3/4 × Côté)²
∴ (côté)² = 4/√3 × Aire = 4/√3 × 36.95
Donc, côté = √85,33 = 9,24 cm.
Hauteur d'un triangle équilatéral = √3/2 × (côté)
= √3/2 × 9,24 = 8 cm.
7. Si l'aire d'un triangle équilatéral is 36√3 cm², calculer son périmètre (en cm).
Réponse: 36Aire d'un triangle équilatéral = √3/4 × côté²
∴ côté² = 4/√3 × Aire = 144 ou côté = 12 cm.
Périmètre = 3 (côté) = 3 (12) = 36 cm.
8. Calculer l'aire (en m²) d'un triangle isoscèle, dont chacun ses côtés mesure 10 m et sa base mesure12 m.
Réponse: 48Aire d'un triangle isoscèle = ¼ b √(4a² − b²)
= ¼ (12) √(4 × 10² − 12²) = 3 √(4 × 100 − 144) = 3 √256 = 3 × 16 = 48 m.
9. La base d'un triangle isoscèle mesure 24 cm et le périmètre mesure 64 cm. calculer son aire (en cm²).
Réponse: 192Soit a = longueur de côté (égale) et b = longueur de la base.
Périmètre d'un triangle isoscèle P = 2a + b
∴ a = ½ (P − b) = ½ (64 − 24) = 20 cm.
Aire d'un triangle isoscèle = ¼ b √(4a² − b²) ∴ Aire = ¼ (24) √(4 × 20² − 24²) = 6 √(1600 − 576) = 6 √1024 = 6 × 32 = 192 cm².
10. L'aire d'un triangle rectangle est 30 fois sa base. Quelle est sa hauteur (en cm)?
Réponse: 60Soit b la base du triangle et h la hauteur.
Alors, Aire d'un triangle = ½ b h
∴ ½ b h = 30 b
Donc, hauteur h = 2 (30) = 60 cm.
11. La base d'un triangle rectangle mesure 5 cm et son hypoténuse est de13 cm.
calculer l'aire (en cm²) du triangle.
Réponse: 30D'après le Théorème de Pythagore, Hauteur = 13² − 5² = 12 cm.
Aire du triangle = ½ × Base × Hauteur = ½ × 5 × 12 = 30 cm².
12. La différence entre les côtés d'un triangle rectangle contenant l'angle droit est 7 cm et son aire est 60 cm ².
Calculer le périmètre (en cm) du triangle.
Réponse: 40 Soient c cm et ( c − 7) cm les côtés contenant l'angle droit. Aire d'un triangle = ½ × Base × Hauteur ∴ ½ c ( c − 7) = 60 ⇒ c2 − 7 c − 120 = 0 L'équation du second degré (quadratique) au-dessus peut être résolue par factorisation comme suit. ( c − 15) ( c + 8) = 0 c = 15 (ignorant la racine négative, c'est-à-dire, c = -8) Donc, un côté c = 15 cm, autre côté a = (15 − 7) cm = 8 cm. D'après le Théorème de Pythagore, Hypoténuse b = √(15 2 + 8 2) = 17 cm Par conséquent, Périmètre = a + b + c = 8 + 17 + 15 = 40 cm.
13. Calculer la longueur de l'hypoténuse (en cm) d'un triangle rectangle isocèle ayant l'aire 484 cm².
Réponse: 44Pour un triangle rectangle isocèle, Base = Hauteur
Aire du triangle = ½ × Base × Hauteur = ½ × Hauteur²
D'après le Théorème de Pythagore, Hypoténuse² = Base² + Hauteur² = 2 × Hauteur²
Hypoténuse² = 4 (Aire) = 4 (484).
∴ Hypoténuse = 44 cm.
14. Le rapport (ratio) des aires de deux triangles est 2 : 3. Le rapport de leurs hauteurs est 3 : 2. Si le rapport de leurs bases est 4 : y, ce qui est y ?
Réponse: 9Puisque les hauteurs des deux triangles sont dans le rapport 3 : 2, Soient 3h et 2h les hauteurs.
Puisque les bases des deux triangles sont dans le rapport 4 : y, Soient 4b et yb les bases.
Aire du triangle = ½ × Base × Hauteur
Puisque les aires sont dans le rapport 2 : 3,
[4b × 3h] / [yb × 2h] = 2 / 3
Alors, y = 9.
15. La base d'un terrain triangulaire est cinq fois sa hauteur. Si le coût de cultiver le terrain à 32 $ par hectare est 500 $, calculer son hauteur (en m).
Noter que 1 hectare = 10 000 m2.
Réponse: 250Aire du terrain = Coût Total / Taux
= 500 / 32 hectares = 15,625 hectares = (15,625 × 10 000) m² = 156250 m².
Soit h la hauteur du terrain. Puis, sa base = 5h.
Aire du triangle = ½ × Base × Hauteur
∴ Aire = ½ × 5h × h = 5h² / 2 = 156250
⇒ h² = 156250 × 2 / 5 = 62500
Hauteur h = √62500 = 250 m.
16. Les longueurs des côtés d'un triangle sont dans un rapport de 3: 4: 5, et son périmètre est 72 cm.
calculer l'aire (in cm²) du triangle.
Réponse: 216Soient a, b et c les longueurs des côtés d'un triangle.
Demi-perimètre du triangle d = ½ (a + b + c)
D'après la Formule d'Héron, Aire du triangle = √[s (s − a) (s − b) (s − c)]
Maintenant, soient 3x, 4x et 5x les côtés du triangle.
∴ 3x + 4x + 5x = 72
Donc, x = 72 / 12 = 6.
Les côtés du triangle sont 18 cm, 24 cm et 30 cm.
Ensuite, demi-perimètre d = ½ (18 + 24 + 30) = 36 cm.
D'après la Formule d'Héron, Aire du triangle = √(36 × 18 × 12 × 6) = 216 cm².
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